\chapter{恒定电流}

\section{电流　电阻　电功及电功率}





1．电流

(1)形成的条件：导体中有\_\_自由电荷\_\_；导体两端存在\_\_电压\_\_.

(2)标矢性：电流是标量，\_\_正电荷\_\_定向移动的方向规定为电流的方向．

(3)两个表达式：\ding{172}定义式$I=\dfrac{q}{t}$；\ding{173}决定式$I=\dfrac{U}{R}$.

2．电阻、电阻定律

(1)电阻：反映了\_\_导体对电流阻碍作用\_\_的大小，表达式为$R=\dfrac{U}{I}$.

(2)电阻定律：同种材料的导体，其电阻跟它的\_\_长度\_\_成正比，与它的\_\_横截面积\_\_成反比，导体的电阻还与构成它的材料有关．表达式为$R=\rho \dfrac{L}{S}$.

(3)电阻率：

\ding{172}物理意义：反映导体的\_\_导电性能\_\_，是导体材料本身的属性；

\ding{173}电阻率与温度的关系：金属的电阻率随温度升高而\_\_增大\_\_；半导体的电阻率随温度升高而\_\_减小\_\_.

3．部分电路欧姆定律及其应用

(1)内容：导体中的电流跟导体两端的\_\_电压\_\_成正比，跟导体的\_\_电阻\_\_成反比．

(2)表达式：$I=\dfrac{U}{R}$.

(3)适用范围：金属导电和电解液导电，不适用于气体导电或半导体元件．

(4)导体的伏安特性曲线(I-U)图线

\begin{center}\includegraphics[width=1.09444in,height=0.91528in]{media/image307.png}\end{center}

\ding{172}比较电阻的大小：图线的斜率$k=\tan \theta=\dfrac{I}{U}=\dfrac{1}{R}$，图中$R_1$\textgreater$R_2$(选填``\textgreater''\,``\textless''或``='')；

\ding{173}线性元件：伏安特性曲线是过原点的直线的电学元件，适用于欧姆定律；

\ding{174}非线性元件：伏安特性曲线不是过原点的直线的电学元件，不适用于欧姆定律．

4．电功率、焦耳定律

(1)电功：电路中\_\_电场力\_\_移动电荷做的功．表达式为$W=q U=U I t$.

(2)电功率：单位时间内电流做的功．表示电流做功的\_\_快慢\_\_.表达式为$P=\dfrac{W}{t}=UI$.

\ding{172}纯电阻用电器：电功率$P=I U=I^{2} R=\dfrac{U^{2}}{R}$.

\ding{173}非纯电阻用电器：电功率只能是$P=UI$.

(3)焦耳定律：电流通过导体产生的\_\_热量\_\_跟电流的二次方成正比，跟导体的电阻及通电时间成正比．表达式为$Q=I^2Rt$.

\ding{172}纯电阻用电器：电热$Q=I Ut=I^{2} Rt=\dfrac{U^{2}}{R}t$.

\ding{173}非纯电阻用电器：电热只能是$Q=I^2Rt$.


\newpage
\subsection{对电流表达式的理解}


\begin{longtable}[]{@{}m{1.5cm}m{4cm}m{6cm}@{}}
\toprule
& 公式及适用范围 & 字母含义\tabularnewline
\midrule
\endhead

定义式
& \begin{minipage}[t]{0.30\columnwidth}\raggedright
$I=\dfrac{q}{t}$

一切电路\strut
\end{minipage} & \begin{minipage}[t]{0.50\columnwidth}\raggedright
q为时间t内通过导体横截面的电荷量\strut
\end{minipage}\tabularnewline
\begin{minipage}[t]{0.30\columnwidth}\raggedright
微观式\strut
\end{minipage} & \begin{minipage}[t]{0.30\columnwidth}\raggedright
$I=nqSv$

一切电路\strut
\end{minipage} & \begin{minipage}[t]{0.50\columnwidth}\raggedright
n：导体单位体积内的自由电荷数

q：每个自由电荷的电荷量

S：导体横截面积

v：电荷定向移动速率\strut
\end{minipage}\tabularnewline
\begin{minipage}[t]{0.30\columnwidth}\raggedright
决定式\strut
\end{minipage} & \begin{minipage}[t]{0.30\columnwidth}\raggedright
$I=\dfrac{U}{R}$

金属、电解液\strut
\end{minipage} & \begin{minipage}[t]{0.50\columnwidth}\raggedright
U：导体两端的电压

R：导体本身的电阻\strut
\end{minipage}\tabularnewline
\bottomrule
\end{longtable}

\begin{center}\includegraphics[width=0.70764in,height=0.12292in]{media/image37.png}\end{center}
\begin{center}
	\textbf{电流微观表达式的相关说明}
\end{center}

(1)判断某个量与其他量的变化关系，可以根据公式推导出该物理量的表达式，就能看出该物理量与其他量是否有关，以及随其他量的变化规律．

(2)电流的微观表达式在金属导体、静电除尘、电视机显像管等问题中都有应用．

\subsection{电阻定律的理解及应用}

两个公式的对比

\begin{longtable}[]{@{}m{1.2cm}m{6cm}m{6cm}@{}}
\toprule
公式 & $R=\rho \dfrac{L}{S}$ & $I=\dfrac{U}{R}$\tabularnewline
\midrule
\endhead
\multirow{3}{1cm}{区别} & 电阻的决定式 & 电阻的定义式\tabularnewline
& 说明了电阻的决定因素 &
提供了一种测定电阻的方法，并不说明电阻与U和I有关\tabularnewline
& 只适用于粗细均匀的金属导体和浓度均匀的电解液 &
适用于任何纯电阻导体\tabularnewline
相同点 &\multicolumn{2}{l}{ 都不能反映电阻的实质(要用微观理论解释) }\tabularnewline
\bottomrule
\end{longtable}

\begin{center}\includegraphics[width=0.70764in,height=0.12292in]{media/image37.png}\end{center}
\begin{center}
	\textbf{导体形变后电阻的分析方法}
\end{center}

某一导体的形状改变后，讨论其电阻变化应抓住以下三点：

(1)导体的电阻率不变，因其由导体材料本身决定．

(2)导体的体积不变，由V=lS可知l与S成反比．

(3)在$\rho$、l、S都确定之后，应用电阻定律$R=\rho \dfrac{L}{S}$求解．
\newpage
\subsection{欧姆定律与伏安特性曲线的理解及应用}


1．图线的意义

(1)由于导体的导电性能不同，所以不同的导体有不同的伏安特性曲线．

(2)伏安特性曲线上每一点的电压坐标与电流坐标的比值，对应这一状态下的电阻．

2．图线的区别

(1)图甲中图线a、b表示线性元件，图乙中图线c、d表示非线性元件．

(2)在伏安特性曲线中，线性元件图线的斜率表示电阻的倒数，斜率越大，电阻越小，故$R_a$\textless $R_b$(如图甲所示)．

(3)图线c的斜率增大，电阻减小；图线d的斜率减小，电阻增大(如图乙所示)．

\begin{center}\includegraphics[width=1.99028in,height=1.06597in]{media/image311.png}\end{center}

(4)c、d图线上某点切线的斜率不是电阻的倒数．

{[}例3{]}(2017·四川成都诊断)小灯泡通电后其电流I随所加电压U变化的图线如图所示，P为图线上一点，PN为图线在P点的切线，PQ为U轴的垂线，PM为I轴的垂线，则下列说法中正确的是(　D　)

\begin{center}\includegraphics[width=1.14167in,height=0.99028in]{media/image312.png}\end{center}

A．随着所加电压的增大，小灯泡的电阻减小

B．对应P点，小灯泡的电阻为$R=\dfrac{U_{1}}{I_{1}}$

C．对应P点，小灯泡的电阻为$R=\dfrac{U_{1}}{I_{2}-I_{1}}$

D．对应P点，小灯泡的功率为图中矩形PQOM所围面积

\begin{center}\includegraphics[width=0.70764in,height=0.12292in]{media/image34.png}\end{center}
\begin{center}
	\textbf{运用伏安特性曲线求电阻应注意的问题}
\end{center}

(1)如图所示．非线性元件的I-U图线是曲线，导体电阻$R_{N}=\dfrac{U_{N}}{I_{N}}$，即电阻等于图线上点$\left(U_{N}, I_{N}\right)$与坐标原点连线的斜率的倒数，而不等于该点切线斜率的倒数，即$R \neq \dfrac{\Delta U}{\Delta I}$.

(2)I-U图线中的斜率$k=\dfrac{1}{R}$，斜率k不能理解为$k=\tan \alpha$($\alpha$为图线与U轴的夹角)，因坐标轴的单位可根据需要人为规定，同一电阻在坐标轴单位不同时倾角$\alpha$是不同的．

\begin{center}\includegraphics[width=0.88681in,height=0.71667in]{media/image313.png}\end{center}

\subsection{电功和电热　电功率和热功率}
纯电阻电路与非纯电阻电路的比较

用电器纯电阻$W=Q W=U I t=P^{2} R t=\dfrac{U^{2}}{R} t P=U I=P^{2} R=\dfrac{U^{2}}{R}$如电阻、电炉、白炽灯等非纯电阻$W>Q W=U I t=P^{2} R t=\dfrac{U^{2}}{R} t P=U I=P^{2} R=\dfrac{U^{2}}{R}$其他如电风扇、电动机、电解槽等

{[}例4{]}如图所示是一提升重物用的直流电动机工作时的电路图．电动机内电阻r=0.8
$\Omega$，电路中另一电阻R=10 $\Omega$，直流电压U=160 V，电压表示数UV=110 V．试求：

\begin{center}\includegraphics[width=0.91528in,height=0.87708in]{media/image314.png}\end{center}

(1)通过电动机的电流；

(2)输入电动机的电功率；

(3)若电动机以v=1 m/s匀速竖直向上提升重物，求该物的质量．(g取10 $m/s^2$)
\begin{solution}
	(1)5 A　(2)550 W　(3)53 kg
	
	(1)由电路中的电压关系可得电阻R的分压$U_{R}=U-U_{\mathrm{V}}=(160-110) \mathrm{V}=50 \mathrm{V}$，流过电阻R的电流$I_{R}=\dfrac{U_{R}}{R}=\dfrac{50}{10} \mathrm{A}=5A$，即通过电动机的电流$I_{\mathrm{M}}=I_{R}=5 \mathrm{A}$．

(2)电动机的分压$U_{\mathrm{M}}=U_{\mathrm{V}}=110 \mathrm{V}$，输入电动机的功率$P_{\text {电 }}=I_{\mathrm{M}} U_{\mathrm{M}}=550 \mathrm{W}$.

(3)电动机的发热功率$P_{\text {热 }}=I_{\mathrm{M}}^2 r=20 \mathrm{W}$，电动机输出的机械功率$P_{\text {出 }}=P_{\text {电 }}-P_{\text {热 }}=530 \mathrm{W}, \quad$ 又因 $P_{\text {出 }}=m g v,$ 所以 $m=\dfrac{P_{\text {出 }}}{g v}=53 kg$.
\end{solution}


\begin{center}\includegraphics[width=0.70764in,height=0.12292in]{media/image34.png}\end{center}
\begin{center}
	\textbf{非纯电阻问题的``四大注意''}
\end{center}



(1)无论是纯电阻还是非纯电阻，电功均为$W=UIt$，电热均为$Q=I^2Rt$.

(2)处理非纯电阻的计算问题时，要善于从能量转化的角度出发，紧紧围绕能量守恒，利用``电功=电热+其他能量''寻找等量关系求解．

(3)非纯电阻在一定条件下可当作纯电阻处理，如电动机卡住不转时即为纯电阻．

(4)若电路中，为电动机与纯电阻串联．在求电动机电压和电流时，不能对电动机应用欧姆定律，应对其他纯电阻元件分析，间接得到电动机电压和电流．

\newpage
\section{电路　闭合电路的欧姆定律}

1．串、并联电路的特点

(1)特点对比

\begin{longtable}[]{@{}m{1cm}m{6cm}m{6cm}@{}}
\toprule
& 串联 & 并联\tabularnewline
\midrule
\endhead
电流 & $I=I_{1}=I_{2}=\ldots=I_{n}$ &
$I=I_{1}+I_{2}+\ldots+I_{n}$\tabularnewline
电压 & $U=\quad U_{1}+U_{2}+\ldots+U_{n}$ &
$U=U_{1}=U_{2}=\ldots=U_{n}$\tabularnewline
电阻 & $R=R_{1}+R_{2}+\ldots+R_{n}$ &
$\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_{1}}+\dfrac{1}{R_{2}}+\ldots+\dfrac{1}{R_{n}}$\tabularnewline
\bottomrule
\end{longtable}

(2)几个常用的推论

\ding{172}串联电路的总电阻\_\_大于\_\_其中任一部分电路的总电阻．

\ding{173}并联电路的总电阻\_\_小于\_\_其中任一支路的总电阻，且小于其中最小的电阻．

\ding{174}无论电阻怎样连接，每一段电路的总的消耗电功率P总是等于各个电阻消耗电功率之和．

\ding{175}无论电路是串联还是并联，电路中任意一个电阻变大时，电路的总电阻变大．

2．电源的电动势和内阻

(1)电动势

\ding{172}电动势的计算：非静电力搬运电荷所做的功与搬运的电荷量的比值，$E=\dfrac{W}{q}$；

\ding{173}电动势的物理含义：电动势表示电源\_\_把其他形式的能转化成电势能\_\_本领的大小，在数值上等于电源没有接入电路时两极间的电压．

(2)内阻：电源内部导体的电阻．

3．闭合电路的欧姆定律

(1)闭合电路欧姆定律

\ding{172}内容：闭合电路里的电流跟电源的电动势成\_\_正比\_\_，跟内、外电阻之和成\_\_反比\_\_；

\ding{173}公式：$I=\dfrac{E}{R+r}$(只适用于纯电阻电路)；

\ding{174}其他表达形式

a．电势降落表达式：$E=U_{\text{外}}$+$U_{\text {内 }} $或$E=U_{\text{外}}$  $+I r$；

b．能量表达式：$E I=U I+I^{2} r$.

(2)路端电压与外电阻的关系

\ding{172}一般情况：$U=I R=\dfrac{E}{R+r} R=\dfrac{E}{1+\dfrac{r}{R}}$，当R增大时，U\_\_增大\_\_；

\ding{173}特殊情况：

a．当外电路断路时，I=0，U=\_\_E\_\_；

b．当外电路短路时，$I_{\text {短 }}=\dfrac{E}{r}$，U=0.

\newpage
\subsection{闭合电路的功率及效率问题}

\begin{longtable}[]{@{}m{4cm}m{10cm}@{}}
\toprule
\multirow{2}{3cm}{电源总功率} & 任意电路 $P_{\text {总 }}=E I=P_{\text {出十 }} P$\tabularnewline

& 纯电阻电路 $P_{\text {总 }}=I^{2}(R+r)=\dfrac{E^{2}}{R+r}$\tabularnewline
电源内部消耗的功率 & $P_{\text {内 }}=P^{2} r=P_{\text {总 }}-P_{\text {出 }}$\tabularnewline
\multirow{2}{3cm}{电源的输出功率} & 任意电路 $P_{\text {出 }}=U I=P_{\text {总 }}-P$\tabularnewline
& 纯电阻电路 $P_{\text {出 }}=P^{2} R=\dfrac{E^{2} R}{(R+r)^{2}}$\tabularnewline
$P_{\text{出}}$外电阻R的关系 &
\includegraphics[width=1.35833in,height=0.85833in]{media/image320.png}\tabularnewline
\multirow{2}{3cm}{电源的效率} & $\eta=\dfrac{P_{\text {出 }}}{P_{\text {总 }}} \times 100 \%=\dfrac{U}{E} \times 100 \%$\tabularnewline
& 纯电阻电路 $\eta=\dfrac{R}{R+r} \times 100 \%$\tabularnewline
\bottomrule
\end{longtable}

由P出与外电阻R的关系图象可知

\ding{172}当R=r时，电源的输出功率最大为$P_{\mathrm{m}}=\dfrac{E^{2}}{4 r}$；

\ding{173}当R\textgreater r时，随着R的增大输出功率越来越小；

\ding{174}当R\textless r时，随着R的增大输出功率越来越大；

\ding{175}当$P_{\text {出 }}<P_{\mathrm{m}}$时，每个输出功率对应两个外电阻$R_1$和$R_2$，且$R_1$$R_2$=$r_2$.

\begin{center}\includegraphics[width=0.70764in,height=0.12292in]{media/image13.png}\end{center}
\begin{center}
	\textbf{闭合电路欧姆定律中功率的最值问题}
\end{center}

(1)定值电阻的功率$P_{\text {定 }}=I^{2} R$

R为定值电阻，$P_{\text {定 }}$只与电流有关系，当$R_{\text {外 }}$最大时，I最小$P_{\text {定 }}$最小，当$R_{\text {外 }}$最小时，I最大$P_{\text {定 }}$最大．

(2)电源的输出功率$P_{\text {出 }}=\dfrac{E^{2} R_{\text {外 }}}{\left(r+R_{\text {外 }}\right)^{2}}=\dfrac{E^{2}}{\dfrac{\left(R_{\text {外 }}-r\right)^{2}}{R_{\text {外 }}}+4 r}$

当$R_{\text {外 }}=r$时，P出功率最大．

(3)变化电阻的功率的最大值

利用等效思想，把除变化电阻之外的其他的定值电阻等效成电源的内阻$r^{\prime}$，则变化电阻的功率即为等效以后的电源的输出功率，即当R变$R$ 变 $=r^{\prime}$时，$P_{\text {变 }}$有最大值．

\newpage
\subsection{电路的动态分析}

1．动态分析特点

断开或闭合开关、滑动变阻器的滑片移动、电阻增大或减小导致电路电压、电流、功率等的变化．

2．电路动态分析的方法

(1)程序法

电路结构的变化$\rightarrow$R的变化$\rightarrow$$R_{\text {总 }}$的变化$\rightarrow$$I_{\text {总 }}$的变化$\rightarrow$U端的变化$\rightarrow$固定支路的变化$\rightarrow$变化支路I、U、P的变化．

(2)``串反并同''结论法

\ding{172}所谓``串反''，即某一电阻增大时，与它串联或间接串联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将减小，反之则增大．

\ding{173}所谓``并同''，即某一电阻增大时，与它并联或间接并联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将增大，反之则减小．

即：$\left.\begin{array}{l}U_{\text {串 }} \downarrow \\ I_{\text {串 }} \downarrow \\ P_{\text {串 }}\downarrow\end{array}\right\} \leftarrow R \uparrow \rightarrow\left\{\begin{array}{l}U_{\text {并 }} \uparrow \\ I_ \text { 并 } \uparrow \\ P_\text { 并 }{\uparrow}\end{array}\right.$

(3)极限法

对于因滑动变阻器的滑片滑动引起电路变化的问题，可将滑动变阻器的滑片分别滑至两个极端去讨论．此时要注意是否出现极值情况，即变化是否是单调变化．

(4)特殊值法

对于某些电路问题，可以代入特殊值进行判定，从而得出结论．

{[}例2{]}(2018·东北育才模拟)如图所示电路中，电源电动势为E，电源内阻为r，串联的固定电阻为$R_2$，滑动变阻器的总电阻为$R_1$，电阻大小关系为$R_1$=$R_2$=r，则在滑动触头P从a端移动到b端的过程中，下列描述中正确的是(　B　)

\begin{center}\includegraphics[width=1.02847in,height=0.80208in]{media/image322.png}\end{center}

A．电路中的总电流先增大后减小

B．电路的路端电压先增大后减小

C．电源的输出功率先增大后减小

D．滑动变阻器$R_1$上消耗的功率先减小后增大

\begin{center}\includegraphics[width=0.70764in,height=0.12292in]{media/image25.png}\end{center}
\begin{center}
	\textbf{电路动态分析思路}
\end{center}

\begin{center}\includegraphics[width=2.81111in,height=0.67014in]{media/image323.png}\end{center}

\newpage
\subsection{含电容器电路的分析}

1．电容器的简化处理：简化电路时可以把电容器所处电路作为断路，简化电路时可以去掉，求电荷量时在相应位置再补上．

2．电阻的简化处理：电路稳定后，与电容器同支路的电阻是一个等势体，相当于导线．

3．电荷变化量的计算：电路中电流、电压的变化可能会引起电容器的充、放电．若电容器两端电压升高，电容器将充电，若电压降低，电容器将通过与它连接的电路放电．可由$\Delta Q=C \Delta U$计算电容器上电荷量的变化．

\subsection{两种U-I图线的比较及应用}

\begin{longtable}[]{@{}m{2.5cm}m{5cm}m{5cm}@{}}
\toprule
& 电源U-I图象 & 电阻U-I图象\tabularnewline
\midrule
\endhead
图形 &
\includegraphics[width=0.82083in,height=0.5375in]{media/image325.png} &
\includegraphics[width=0.81111in,height=0.5375in]{media/image326.png}\tabularnewline
物理意义 & 路端电压随电流的变化规律 &
电阻两端电压随电流的变化规律\tabularnewline
截距 & 与纵轴交点表示电源电动势E，与横轴交点表示短路电流$\dfrac{E}{r}$ &
过坐标轴原点，表示没有电压时电流为零\tabularnewline
坐标的乘积UI & 表示电源的输出功率 & 表示电阻消耗的功率\tabularnewline
坐标的U、I比值 & 表示外电阻的大小，不同点对应的外电阻大小不同 &
每一点对应的比值均等大，表示此电阻的大小不变\tabularnewline
斜率的绝对值 & 内电阻r & 电阻大小\tabularnewline
\bottomrule
\end{longtable}



\begin{center}\includegraphics[width=0.70764in,height=0.12292in]{media/image13.png}\end{center}
\begin{center}
	\textbf{分析U-I图象的一般思路}
\end{center}


(1)明确纵、横坐标的物理意义．

(2)明确图象的截距、斜率及交点的意义．

(3)找出图线上对应状态的参量或关系式．

(4)结合相关概念或规律进行分析、计算


\subsection{电路故障的分析与判断}

1．故障特点

\ding{172}断路特点：表现为路端电压不为零而电流为零；

\ding{173}短路特点：用电器或电阻发生短路，表现为有电流通过电路但用电器或电阻两端电压为零．

2．检查方法

\ding{172}电压表检测：如果电压表示数为零，则说明可能在并联路段之外有断路，或并联路段短路；

\ding{173}电流表检测：当电路中接有电源时，可用电流表测量各部分电路上的电流，通过对电流值的分析，可以确定故障的位置．在运用电流表检测时，一定要注意电流表的极性和量程；

\ding{174}欧姆表检测：当测量值很大时，表示该处断路，当测量值很小或为零时，表示该处短路．在运用欧姆表检测时，电路一定要切断电源；

\ding{175}假设法：将整个电路划分为若干部分，然后逐一假设某部分电路发生某种故障，运用闭合电路或部分电路的欧姆定律进行推理．


